线性规划模型

线性规划模型

某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4千元与3千元。

生产甲机床需用A、B机器加工，加工时间分别为每台2 小时和1 小时；生产乙机床需用A、B、C三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10 小时、B 机器8 小时和C 机器7 小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？

$s.t.$为约束条件，$max $ $ z $为目标函数 , $x_1$ , $x_2$为决策变量。

（经典例题）

2. 求解线性规划的MATLAB解法

2.1 基于MATLAB求解器的解法

先将问题化成标准化模型

其中c和x为n维列向量，A、Aeq为适当维数的矩阵，b、beq 为适当维数的列向量。【注意：MATLAB 是求的是最小值，不等式的不等号是 ≤ 】

用 linprog 命令求解线性规划问题 x返回值是决策向量取值，fval 返回值是目标函数最优值 【命令中的空项目用[ ]代替即可】

[x,fval] = linprog(c,A,b)
[x,fval] = linprog(c,A,b,Aeq,beq)
[x,fval] = linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

2.2 基于问题的解法

开头例题的程序示例

clc,clear
probl=optimproblem("ObjectiveSense","max");
%创建最大化线性规划问题（我们的问题是使目标函数值最大，所以要输"ObjectiveSense"）
c=[4,3];  %目标函数系数向量
a=[2,1;1,1;0,1];
b=[10;8;7];
x=optimvar("x",2,1,"LowerBound",0);
%定义问题的符号决策向量
%x=optimvar(，行数，列数，，)
probl.Objective=c*x;  %问题的目标函数
probl.Constraints=a*x<=b;  %问题的约束条件
%如果约束条件有多类，可以再加个标签probl.Constraints.c1,这里只有一类约束条件，所以没有加
[sol,fval,flag,out]=solve(probl)
%一般的线性规划只需要[sol,fval]=solve(probl)
%其中fval是返回的最优值
sol.x  %显示决策变量的取值

应用

设$x_{ij}$为第i个月份租借期限为j的仓库面积，因为5月份不租仓库，所以$ x_{24},x_{33},x_{34},x_{42},x_{43},x_{44}=0 $,可建立如下模型：

解得最优解为：$x_{11}=3,x_{14}=12,x_{31}=8$

目标函数最优值是 $118400$

MATLAB程序如下：

clc,clear
prob=optimproblem;
x=optimvar("x",4,4,'LowerBound',0);
prob.Objective=2800*sum(x(:,1))+4500*sum(x(1:3,2))+6000*sum(x(1:2,3))+7300*x(1,4);
prob.Constraints=[sum(x(1,:))>=15sum(x(1,2:4))+sum(x(2,1:3))>=10sum(x(1,3:4))+sum(x(2,2:3))+sum(x(3,1:2))>=20x(1,4)+x(2,3)+x(3,2)+x(4,1)>=12];
[sol,fval,flag,out]=solve(prob)
sol.x

3.运输问题（产销平衡）

应用举例

设$x_{ij}$表示从产地$A_i$运到到销售地$B_j$的量，$c_{ij}$表示产地$A_i$运到到销售地$B_j$的运价，$d_{ij}$表示销售地$B_{j}$的需求量，$c_{i}$表示产地的产量。

则目标函数就是使总的运费最小，约束条件有，销售地需求量等于运送量；运送量小于等于产地产量。

我们用基于问题的方法求解这个线性规划，得$x_{12}=19,x_{15}=41,x_{21}=1,x_{24}=40,x_{32}=11,x_{37}=40,x_{46}=5,x_{48}=38,x_{51}=34,x_{52}=7,x_{63}=22,x_{66}=27$

clc,clear
a=readmatrix('data1.txt')  %读取表中的数据
%%若数据是整行整列的表，则可以用load('文件名')
c=a(1:end-1,1:end-1);
%%end表示行、列的最大值
d=a(end,1:end-1);
e=a(1:end-1,end);
x=optimvar("x",6,8,'LowerBound',0)  %定义决策向量
prob=optimproblem('Objective',sum(c.*x,'all'));
%定义问题，并写出目标函数
%这里sum(c.*x,'all')相当于sum(sum(c.*x))
prob.Constraints.c1=sum(x)==d;  
%sum(A)，不指定dim或指定dim为1，则自动计算成所有列向量数值的和；如果指定dim为2，则自动计算成所有行向量数值的和
prob.Constraints.c2=sum(x,2)<=e;
[sol,fval,flag,out]=solve(prob)
xx=sol.x
writematrix(xx,'data1.xlsx')  %把数据贴到excel表格中，用于做表使用

4.问题记录

模型建立方面：
1.模型要注意灵敏度分析，即分析哪个变量的轻微波动对结果的影响更大（现实生活中难免决策变量会发生变化）
2.投资偏好系数：投资者在权衡资产风险和预期收益两方面时，希望选择一个令自己满意的投资组合，因此对风险和收益分别赋予权重，s称为投资偏好系数
记风险为$P$，收益为$Q$，则需要寻找一个$s$，使得$minP−Q$ ,或 $max Q−P$。