球体与正方体[正六面体]

前言

常用结论：

• 给定一个棱长为 \(a\) 的正方体[即正六面体]，则其面对角线长为\(\sqrt{2}a\)，其体对角线长为\(\sqrt{3}a\)；且正六面体棱长、面对角线、体对角线三者之比为\(1\)\(\;:\;\)\(\sqrt{2}\)\(\;:\;\)\(\sqrt{3}\)；

• 设正方体的棱长为 \(a\)，则内切球的半径\(R_{内}=\cfrac{a}{2}\)；棱切球的半径\(R_{棱}=\cfrac{\sqrt{2}a}{2}\)；外接球的半径\(R_{外}=\cfrac{\sqrt{3}a}{2}\)；且内切球半径 \(R_{内}\)、棱切球半径\(R_{棱}\)、外接球半径\(R_{外}\) 三者之比为 \(1\)\(\;:\;\)\(\sqrt{2}\)\(\;:\;\)\(\sqrt{3}\)；

• 正方体的内切球球心、棱切球球心、外接球球心都是体对角线的中点，也即正六面体的中心。

球体与正六面体的切接

典型例题

【人教 2019A 版教材\(P_{119}\) 页练习第3题】将一个棱长为 \(6cm\) 的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积 .

提示：可以转化为正方体的内切球问题，设球体的半径为 \(R\)，则 \(2R=6\)，即 \(R=3\) ，

故 \(V_{\max}=V_{球}=\cfrac{4}{3}\pi R^3=36\pi\) \(cm^3\) .

相关链接

球体与简单几何体的切接问题