矩阵求导（一）

news/发布时间2024/5/3 22:26:33

前言

在大学的微积分课程中，我们学习过关于标量函数的导数。但是当我们求解一个多元函数的极值时，单独一个自变量的偏导数往往不能告诉我们太多信息，于是我们有一种天然的想法是要把每个自变量的偏导数放在一起，看看他们的联合效果如何。这个过程其实是一个向量求导的过程。也就是说，我们把每个元素单独求偏导的结果按照一个顺序放入一个向量，与用这些元素组成的向量对函数直接求导，结果是一样的。因为这些非标量的求导过程实在太重要，我把他们整理到了这个博客中。

矩阵求导的分类

由于我们现在有三种不同维度的数据容器，我们一共可以求出3*3=9种不同类型的导数，这几种导数的形状也各不相同。幸运的是，通常我们只需要了解其中一部分，就可以满足工作中的大部分需求。

上图是九种组合的情况，其中小写字母x、加粗小写字母x以及加粗大写字母X分别表示标量、向量和矩阵。
标量对标量的导数是自变量在变化一个微小值时函数值的变化比例，我们已经在学校里接触过了，这里九不再赘述。剩余的还有五种求导形式较为简单，是我们首先应该掌握的：

标量对向量和矩阵求导
向量或矩阵对标量求导
向量对向量求导

而向量对矩阵的求导，矩阵对向量的求导，以及矩阵对矩阵的求导则更加繁琐，我们在这里不做进一步介绍。

求导结果的布局

然而还有一件事应该先解决，即求导结果的形式。我们在前言里说过，标量对向量的求导，等于标量对每个分量求导再把求导的结果放到一个向量中。但这其实是不严谨的，因为我们没有说明按照列向量来放置这些结果，还是按照行向量来放。事实上，两者都可以，取决于一个概念：矩阵求导的布局。通常大部分时候，我们在谈论到一个向量时，除了特殊说明，都默认这是一个列向量。当我们用标量对向量求导时，如果我们选择将求导结果依然按照列排列，那么我们把这种布局方式称为分母布局（求导结果的行数与分母相同）。显而易见，分子布局下求导的结果应该是分母布局的转置。具体来说，这九种求导的形状如下：

标量对向量和矩阵的求导

正如我们前文所述，当一个标量是一个向量中分量的函数时，我们可以尝试拿这个标量对向量进行求导。
图一：标量对向量的求导
标量对矩阵的求导，推导过程是相似的。首先，我们将矩阵分块成一个列向量的形式，然后按照向量求导进行处理；对于每个求导后的分量，再次用向量求导的方式去处理。那么对于一个m*n的矩阵，我们的求导结果就是标量对矩阵中每个元素求导的结果，按照原矩阵形状放到一起而已。