《线性代数的本质》笔记（01-03）

前言：
本系列为《线性代数的本质》的笔记，作者为3Blue1Brown大神，视频的b站链接为 https://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E/?spm_id_from=333.999.0.0&vd_source=cb7d5dd830bc59a85c459b0b14a2e685
看了这个系列视频后我受益匪浅，为了方便后续回顾所以整理成了文字资料。我强烈建议看到这篇博客的朋友们直接看视频，看完后，你可以把本文当做一种简短的回顾。
《线性代数的本质》主要从线性变换的角度来解释线性代数中的一系列概念，将线性代数的许多运算与空间坐标系中的几何变换联系了起来，为我们提供了理解诸多概念的全新角度。在看这个系列课程之前，我总是认为线性代数和其他数学学科的关系很弱，是一门基本独立的数学学科。然而3b1b告诉我们，线性代数完全可以和几何还有代数联系起来，并且以这种视角来看待线性代数中的许多概念，会比单纯得从向量和矩阵的角度更加直观、易于理解。最开始可能会觉得作者的描述略显普通，但后续的章节十分精彩，令人击节称叹。

01-向量究竟是什么

物理学：向量是空间中的箭头，长度和方向决定了唯一一个向量； 计算机专业：向量是数字的列表，用于建模一个对象的多个属性 数学家：**向量可以是任何东西，只要保证 相加 和 数乘 有意义即可** 向量：坐标系中的一组数，分别表示沿着坐标轴走多远。 向量相加：把向量看作一种运动，从原点出发，分别移动两次 向量数乘：带方向的缩放 以上两种运算十分关键，在最后一节会解释为什么。

02-线性组合·张成的空间和基

> 本章介绍线性组合和基的概念

二维空间中，基向量：\(\hat{i}\)向量\(\begin{pmatrix}1 \\0\end{pmatrix}\)和\(\hat{j}\)向量\(\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\)。构成一个坐标的两个标量分别缩放了这两个基向量。
基向量是可以自由选择的，选择一组新的基，通过改变坐标的两个标量（线性组合），也可以表示出空间中全部向量（张成的空间），除非两个向量共线。
张成的空间：可以拓展出来的所有向量的集合
把向量看作空间中的点，二维空间中，两个特定的向量可以张成一个平面；三维向量中，如果第三个向量不与前两个共面，则可以获取整个三维空间。
如果一组向量中，至少有一个是多余的，即没有对张成空间做出贡献，则可以说他们是线性相关的，或者说其中一个可以用其他的向量线性表示。反之，每个向量的加入都增加了张成空间的维度，则可以说他们是线性无关的。

03-矩阵与线性变换

> 本章是理解后续章节的重要一章，也是我个人认为相当精彩的一章。本章的重点是线性变换的概念。

变换：函数的一种
线性变换：空间中的直线在变换后依旧是直线，原点的位置保持不变。（网格线保持平行并且等距分布）

• 问：如何用数字描述这种线性变换？
• 答：只需关心基向量的变化。假设一次线性变换之后\(\hat{i}\)变为\(\begin{pmatrix}1 \\-2\end{pmatrix}\)，\(\hat{j}\)变为\(\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}\)，原本为\(\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}\)的向量现在变到了新的位置
  
  更为一般的情况，在这个变换过程中，任何空间中的向量，会像这样变化：
  
  一个二维的线性变换完全由四个数字决定（i和j的坐标）。
  我们将他们包装成2*2的方块，以此来定义矩阵和向量的乘法。
  
  特例：当变化后的两个基向量线性相关时，空间被挤压成了一条直线。
  总结：矩阵是一种对线性变换的描述。